Дмитрий дудник: Dmitriy Dudnik | Facebook

Содержание

Дмитрий Дудник — ПриМат

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство:

Предположим, что последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет два различных предела b и a, причем b < a.

Выберем [latex] \varepsilon > 0[/latex] таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, [latex]\varepsilon = \frac{(a-b)}{3}[/latex]. Так как число b — предел последовательности [latex] X_{n} [/latex], то по заданному [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно найти номер N такой, что [latex]X_{n}\in U_{\varepsilon }(b)[/latex] для всех [latex]n\geq N[/latex]. Поэтому вне интервала [latex] U_{\varepsilon }(b)[/latex] может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал [latex] U_{\varepsilon }(a)[/latex] может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной снизу, если существует такое число [latex]C_{1}[/latex], что все члены последовательности удовлетворяют условию [latex]X_{n} \geq C_{1}[/latex], т. е.:

[latex]\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}[/latex]

Последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной сверху, если:

[latex]\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}[/latex]

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной, если:

[latex]\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}[/latex]

это можно записать и так:

[latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex]

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство:

Пусть последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет предел, равный а. По определению предела для [latex]\varepsilon = 1[/latex] найдем номер N такой, что при всех [latex]n\geq N[/latex] имеет место неравенство [latex]\left | X_{n}-a \right | <1 [/latex]. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

[latex]\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |[/latex]. {n} \right \}[/latex] ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие [latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex] не выполняется, т. е.

[latex]\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C[/latex],

то говорят, что последовательность [latex]X_{n}[/latex] не ограничена.

Пример: Доказать, что последовательность [latex]\left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} [/latex] является ограниченной, если [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = b[/latex], [latex]b\not \neq 0[/latex] и [latex] y_{n}\not\neq0[/latex], для всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex].

Решение

Так как [latex]b\not \neq 0[/latex], то [latex]\left | b \right |> 0[/latex]. По заданному числу [latex]\varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}[/latex] в силу определения предела последовательности найдется номер [latex]N_{0}[/latex] такой, что:

[latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex].

Используя неравенство для модуля разности

[latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |[/latex]

и неравенство [latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex], получаем [latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex], откуда [latex]\left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}[/latex]. И поэтому для всех [latex]n\geq N_{0}[/latex] справедливо неравенство [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}[/latex].

Пусть C = max [latex]\left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,…,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right )[/latex], для всех [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] выполняется неравенство [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C[/latex], т. е. [latex]\left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \}[/latex] — ограниченная последовательность.

Литература:

Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42

Единственность предела

Лимит времени: 0

Информация

Этот тест по теме: Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

С ответом
С отметкой о просмотре

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Поделиться ссылкой:

Дмитрий Дудник, Севастополь, Россия

Личная информация

Деятельность

скрыта или не указана

Можно редактировать:
да

Обязательно к заполнению:
нет